题解 P4014 【分配问题】

发表于 | 更新于

$Description$

有 nn 件工作要分配给$n$个人做。第$i$个人做第$j$件工作产生的效益为 $c_{i,j}$。试设计一个将$n$件工作分配给$n$个人做的分配方案，使产生的总效益最大。

$Solution$

一个人只能搭配一个任务，显然应该想到二分图，由于有权值，只需在二分图上跑费用流即可

以下边$(a,b)$表示容量为a,费用为$b$的边

首先从$s$向每个人连边$(1,0)$,再从每个任务向$t$连边$(1,0)$

在每个人$i$与任务$j$之间连边$(1,c_{i,j})$

分别跑最小费用最大流和最大费用最大流即可

最大费用最大流只需把$spfa$的最短路改成最长路即可

$Code$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 2000
using namespace std;
struct edge{
    int dis,w,to,next;
}e[1000067];
inline int read(){
    int x=0,w=0;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?-x:x;
}
int cnt=1,head[N],dis[N],vis[N],inque[N],cost,n,s,t,c[N][N];
inline void add(int u,int v,int d,int w){
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].next=head[u];
    e[cnt].dis=d;
    e[cnt].w=w;
    head[u]=cnt;
    e[++cnt].to=u;
    e[cnt].next=head[v];
    e[cnt].dis=0;
    e[cnt].w=-w;
    head[v]=cnt;
}
bool spfa1(){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    queue<int>q;q.push(s);
    dis[s]=0;
    while (!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();inque[u]=0;
        for (int i=head[u];i;i=e[i].next){
            int v=e[i].to;
            if (e[i].dis&&dis[v]>dis[u]+e[i].w){
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                if (!inque[v])
                    q.push(v),inque[v]=1;
            }
        }
    }
    return dis[t]!=inf;
}
bool spfa2(){
    for (int i=s;i<=t;++i)dis[i]=-inf;
    queue<int>q;q.push(s);
    dis[s]=0;
    while (!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();inque[u]=0;
        for (int i=head[u];i;i=e[i].next){
            int v=e[i].to;
            if (e[i].dis&&dis[v]<dis[u]+e[i].w){
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                if (!inque[v])
                    q.push(v),inque[v]=1;
            }
        }
    }
    return dis[t]!=-inf;
}
int dfs(int u,int mn){
    vis[u]=1;
    if (u==t)return mn;
    int used=0,mi;
    for (int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if ((!vis[v]||v==t)&&e[i].dis&&dis[v]==dis[u]+e[i].w)
            if (mi=dfs(v,min(e[i].dis,mn-used))){
                e[i].dis-=mi;
                e[i^1].dis+=mi;
                used+=mi;
                cost+=mi*e[i].w;
                if (used==mn)break;
            }
    }
    return used;
}
void Dinic1(){
    while (spfa1()){
        vis[t]=1;
        while (vis[t]){
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            dfs(s,inf);
        }
    }
}
void Dinic2(){
    while (spfa2()){
        vis[t]=1;
        while (vis[t]){
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            dfs(s,inf);
        }
    }
}
signed main(){
    n=read(),s=0,t=n+n+1;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=1;j<=n;++j)
            c[i][j]=read(),add(i,j+n,1,c[i][j]);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        add(s,i,1,0),add(i+n,t,1,0);
    Dinic1();
    printf("%d\n",cost);
    memset(head,0,sizeof(head));cnt=1;cost=0;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=1;j<=n;++j)
            add(i,j+n,1,c[i][j]);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        add(s,i,1,0),add(i+n,t,1,0);
    Dinic2();
    printf("%d\n",cost);
    return 0;
}